今日は、 大阪府立富田林中学校(2019年)で出題されたの虫食い算問題を紹介します。

虫食い算というよりも、魔方陣の一種と言ってもいいかもしれません。

■問題

会話文を読んで,会話文の中であきらさんが考えた図２の４個の□にあてはまる数を図２にいれて完成させなさい。

図１

図１の８個の□の中に,１,２,３,４,５,６,７,８の数を１つずつ入れて,縦と横が４つの等号で結ぼれるようにしてみよう。

ヒントは「「グループA,B,Cのまとまりで考える。」ことです。

■会話文

くみこ：今度は計算の問題だね。
ヒントの「グループA,B,Cのまとまりで考える。」ってどう考えることなのかな？

あきら：□には,１～８の８つの数がそれぞれ１回だけ入るのだから,
　(グループAの４つの数の和)＋(グループBの２つの数の和)＋(グループCの２つの数の和)は１から８までの数の和になることがいえるよね。

くみこ：あら！この３つのグループそれぞれの数の合計は同じじゃない？

あきら：ということは,１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝36だから,１つのグループの数の合計は３で割ると12だよね。

くみこ：グループBとCを考えると,１～８の数の中で,たして12になる２つの数は,４と８,５と７の２組だよ。

あきら：ということは,図２も正解の１つだね。

図２

■解答・解説

くみこが言っている

「この３つのグループそれぞれの数の合計は同じじゃない？」

という意味は、下記の図のように、

A＝●＋▲＋■＋★

B＝●＋▲＋■＋★

C＝●＋▲＋■＋★

となっているため、A(グループ)＝B(グループ)＝C(グループ)

がいえるということです。

さらに、ヒントで

あきら：ということは,１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝36だから,１つのグループの数の合計は３で割ると12だよね。

くみこ：グループBとCを考えると,１～８の数の中で,たして12になる２つの数は,４と８,５と７の２組だよ。

と教えてくれているので,あとは簡単ですね。

一応解説すると,

図３のように,□をア,イ,ウ,エとします。

図３

まず,ア＋イ＝４となる数を考えると,
(ア,イ)＝(１,３),(３,１)

の２通りが考えられます。

ここで,ア＝１,イ＝３とすると,

ア＋ウ＝５より,

ウ＝４となりますが,すでに４は使われているので,ダメです。

つまり,(ア,イ)＝(１,３)の場合はダメなので,
ア＝３,イ＝１　に決まります。

よって,ウに入る数は,３＋ウ＝５より,
ウ＝２,

１＋エ＝７より
エ＝６　に決まります。

以上より,

今回の問題は、ヒントなしで解けるようにしてほしいです。